Análise teórica do método de reflexão circuncentrada no problema de viabilidade convexa convexo-afim

O Problema de Viabilidade Convexa (\textit{Convex Feasibility Problem} -- CFP) consiste em determinar um ponto pertencente à interseção de conjuntos convexos e fechados em $\mathbb{R}^n$. Trata-se de um problema fundamental em matemática aplicada, com aplicações em otimização convexa, processamento de sinais, reconstrução de imagens e métodos iterativos para sistemas restritos. Métodos baseados em projeções ortogonais, como o Método das Projeções Alternadas (MAP), constituem ferramentas clássicas para sua resolução, apresentando robustez e garantias gerais de convergência. Contudo, suas taxas assintóticas podem deteriorar-se significativamente quando a interseção dos conjuntos apresenta geometria desfavorável. Nesta dissertação, analisamos o Método de Reflexão Circuncentrada, denominado CRM (\textit{Circumcentered- Reflection Method}), no contexto convexo--afim, no qual se busca um ponto na interseção entre um conjunto convexo fechado $K$ e uma variedade afim $U$, assumindo-se $K \cap U \neq \varnothing$. O CRM combina projeções e reflexões ortogonais, definindo cada iteração como o circuncentro de três pontos geometricamente associados ao problema, incorporando assim informação adicional da estrutura geométrica das restrições. Inicialmente, demonstramos que a sequência gerada pelo CRM é Fejér-monótona em relação ao conjunto solução, o que implica limitação e convergência global para um ponto de $K \cap U$. Em seguida, sob uma hipótese geométrica do tipo \emph{error bound}, estabelecemos convergência $Q$-linear das distâncias ao conjunto solução e convergência $R$-linear dos iterados. O principal resultado do trabalho consiste na obtenção de uma constante assintótica estritamente melhor para o CRM quando comparado ao MAP. Mostramos que, sob a hipótese de regularidade geométrica, a taxa de contração do CRM é dada por \[ \sqrt{\frac{1-\gamma^2}{1+\gamma^2}}, \] enquanto o MAP admite constante $\sqrt{1-\gamma^2}$. Tal melhoria decorre de uma desigualdade de energia reforçada, obtida a partir da caracterização do CRM como projeção sobre um semiespaço intermediário que contém o conjunto convexo. Os resultados obtidos fornecem uma fundamentação teórica rigorosa para o desempenho superior do CRM no regime convexo-- afim, esclarecendo os mecanismos geométricos responsáveis por sua aceleração e contribuindo para o desenvolvimento e a compreensão de métodos circuncentrados em problemas de viabilidade convexa.