Random Gradient-Free Optimization in Infinite Dimensional Spaces

Abstract

Nesta dissertação, propomos um método aleatório livre de gradiente para otimização em espaços de Hilbert de dimensão infinita, aplicável à otimização funcional em diversos contextos. Embora tais problemas sejam frequentemente resolvidos por meio de descida de gradiente em dimensão finita sobre uma parametrização das funções, como redes neurais, uma alternativa interessante é realizar a descida de gradiente diretamente no espaço de funções, explorando sua estrutura de espaço de Hilbert, o que permite garantias teóricas demonstráveis e convergência rápida. No entanto, gradientes em dimensão infinita frequentemente são difíceis de computar na prática, o que limita a aplicabilidade desses métodos. Para superar essa limitação, nosso arcabouço requer apenas o cálculo de derivadas direcionais e uma pré-base para o domínio do espaço de Hilbert, isto é, um conjunto linearmente independente cujo fecho do span é denso no espaço de Hilbert. Isso resolve completamente a questão da tratabilidade, pois pré-bases são muito mais fáceis de obter do que bases ortonormais completas ou núcleos reprodutores — que podem nem sequer existir — e derivadas direcionais individuais podem ser facilmente computadas usando diferenciação automática escalar em modo forward. Por fim, demonstramos o uso do método para resolver equações diferenciais parciais no estilo das physics-informed neural networks (PINNs), onde ele permite efetivamente garantir convergência demonstrável.

In this dissertation, we propose a random gradient-free method for optimization in infinite dimensional Hilbert spaces, applicable to functional optimization in diverse settings. Though such problems are often solved through finite-dimensional gradient descent over a parametrization of the functions, such as neural networks, an interesting alternative is to instead perform gradient descent directly in the function space by leveraging its Hilbert space structure, thus enabling provable guarantees and fast convergence. However, infinitedimensional gradients are often hard to compute in practice, hindering the applicability of such methods. To overcome this limitation, our framework requires only the computation of directional derivatives and a pre-basis for the Hilbert space domain, i.e., a linearlyindependent set whose span is dense in the Hilbert space. This fully resolves the tractability issue, as pre-bases are much more easily obtained than full orthonormal bases or reproducing kernels — which may not even exist — and individual directional derivatives can be easily computed using forward-mode scalar automatic differentiation. We showcase the use of our method to solve partial differential equations à la physics informed neural networks (PINNs), where it effectively enables provable convergence.