Detection of representation orbits of compact Lie groups on point clouds

Data
2023-04-03
Orientador(res)
Camacho, Cesar
Tinarrage, Raphael
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Resumo

O uso de algoritmos baseados em grupos não é novo para comunidade de aprendizado de máquinas. Na verdade, existem hoje diferentes métodos, desde de kernls invariantes à G-CNN, que utilizam de informação sobre alguma simetria implícita dos dados para melhorar a acurácia e explicabilidade de modelos. Infelizmente, todas essas técnicas requerem identificação manual anterior dos grupos atuando nos dados, o que significa que podem ser usados apenas quando o usuário sabe qual tipo de simetria esperar. Por outro lado, apesar de em diferentes problemas, como na classificação de imagens rotacionadas, as simetrias são claramente encontradas, estas também podem estar escondidas na geometria dos dados. Nós propomos uma estrutura de aprendizado alternativa, onde a informação algébrica, aqui restrita a representações de grupos de Lie compactos, é detectada diretamente dos dados, permitindo assim subsequente utilização por outras etapas de aprendizado simétrico. Apesar de existirem outros trabalhos, alguns dos quais fazemos uso, que buscam na determinação de informação sobre objetos de Lie a partir de nuvens de pontos, pelo que podemos identificar, nosso algoritmo é o primeiro reportado na literatura que objetiva a determinação da proximidade dos pontos de uma órbita de representação de grupo de Lie compacto, determinando ainda a base da representação derivada em um conjunto de coordenadas canônico. Tais métodos estão totalmente expressados e implementados para a detecção de órbitas de representação de $\SO(2)$, $\SO(3)$, $\SU(2)$ e seus respectivos produtos, apesar de também serem aplicáveis a outros grupos de Lie compactos se dadas as suas listas de representações reais irredutíveis. Como objetivo secundário desta dissertação, buscamos apresentar uma revisão da teoria de Lie para a comunidade de aprendizado de máquinas. Consequentemente, apresentamos algumas aplicações já existem da teoria para esse campo de pesquisa, com especial interesse em visão computacional, análise harmônica generalizada, datasets da Física e aprendizado de máquinas baseado em simetrias. Depois, indicamos como incorporar nosso algoritmo a esses problemas quando as simetrias não são muito claras, sugerindo também técnicas supervisionadas quando os dados são poucos ou o aprendizado é restrito. Por fim, apresentamos algumas ideias de aplicações futuras e generalização para ações não lineares, tópicos que serão considerados em trabalhos futuros.


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