On the symplectic integration of Hamiltonian systems
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Data
2018-07-30
Autores
Orientador(res)
Cruz Cancino, Hugo Alexander de la
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Resumo
Os sistemas Hamiltonianos formam uma das classes mais importantes de equações diferenciais. Além de constituírem o formalismo central da física clássica, sua aplicação se estende a uma grande variedade de outros campos de estudo. Esses sistemas possuem uma característica notória do ponto de vista da matemática, a saber, que a sua ação sobre seus estados iniciais preserva uma estrutura geométrica conhecida como simpleticidade. Este fato tem importantes consequências sobre as características qualitativas do comportamento do sistema, em especial no longo prazo. Neste trabalho, são estudados métodos numéricos para obter soluções aproximadas para sistemas Hamiltonianos (já que, via de regra, soluções exatas não podem ser encontradas) que preservem a estrutura simplética das equações originais. Para tal, é feita uma revisão da teoria clássica da integração numérica de equações diferenciais, bem como de temas mais recentes como os integradores exponenciais. Além de expor a literatura mais recente sobre integradores simpléticos do tipo Runge-Kutta Exponencial, o trabalho propõe um algoritmo para o cálculo computacionalmente eficientes de integrais envolvendo exponenciais de matrizes, que são centrais para a integração simplética estável de ordem alta.